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La fascination des pavages apériodiques
Dans la ville de San Francisco, le Transbay Transit Center attire l’attention grâce à sa structure en aluminium ornée de motifs géométriques formant un pavage. Ce pavage, à y regarder de plus près, ne présente pas de répétition régulière, et appartient à la catégorie des pavages apériodiques. Depuis leur découverte, une question demeurait en suspens : peut-on créer un pavage apériodique avec une seule tuile de base, ce qu’on appelle le problème ein stein ? Craig Kaplan, de l’université de Waterloo au Canada, et ses collègues ont récemment apporté un exemple répondant à cette interrogation.
Les pavages périodiques dans notre quotidien
Paver une surface avec un nombre fini de formes différentes est un problème que l’on rencontre souvent, comme pour le carrelage d’une salle de bain ou le parquet d’un salon. Les formes carrées et rectangulaires ne sont pas les seules à pouvoir être utilisées ; on peut également employer des triangles, des hexagones réguliers ou encore d’autres formes plus complexes.
La révolution des pavages apériodiques
Dans les années 1960, des mathématiciens ont découvert qu’il était possible de créer un pavage apériodique en utilisant un nombre limité de formes. Cette idée a été popularisée par Roger Penrose à partir de 1973. Les premiers exemples nécessitaient plusieurs milliers de tuiles différentes, mais ce nombre a été progressivement réduit. Roger Penrose a ainsi démontré qu’il était possible de paver une surface de manière apériodique en utilisant seulement deux tuiles différentes, appelées le “cerf-volant” et la “fléchette”. On parle alors de pavages de Penrose, qui ont inspiré de nombreuses réalisations architecturales.
Les quasi-cristaux et leur lien avec les pavages apériodiques
En 1982, Dan Shechtman, de l’institut Technion, a découvert les quasi-cristaux. Ces solides possèdent un arrangement atomique qui ne suit pas un réseau périodique comme dans un cristal, bien que leur spectre de diffraction soit discret. Lorsqu’ils sont coupés selon certains plans, ces quasi-cristaux donnent des pavages de Penrose.
Le défi des pavages apériodiques avec une seule tuile
Depuis les travaux de Roger Penrose, la question demeurait de savoir s’il était possible de créer des pavages apériodiques avec une seule tuile. Beaucoup de mathématiciens pensaient que cela était impossible, mais personne n’avait pu le prouver formellement.
Craig Kaplan et ses collègues ont montré que cela était réalisable. Leur tuile, appelée “le chapeau” en raison de sa forme, est un assemblage de plusieurs cerfs-volants de Penrose. À l’échelle des cerfs-volants, le pavage est parfaitement périodique, mais c’est l’association de ces tuiles en une métatuile, le chapeau, qui rend le pavage apériodique.
Des preuves et des nuances
Dans leur article, qui n’a pas encore été évalué par des pairs, les chercheurs ont d’abord prouvé que le chapeau pouvait effectivement paver le plan. Ensuite, ils ont proposé deux démonstrations de l’apériodicité de leur pavage avec le chapeau, dont l’une s’appuie sur un assistant de preuve (un programme informatique qui vérifie l’aspect logique des arguments énoncés).
Toutefois, les chercheurs ont dû employer une petite astuce pour pouvoir paver le plan avec le chapeau. Cet ein stein apparaît dans le pavage sous deux versions, dues à une inversion par une symétrie miroir. Alors, peut-on réellement parler d’une tuile unique ? Pour de nombreux mathématiciens, ce résultat représente tout de même une avancée majeure dans ce domaine. « Pour moi, c’est un événement important et inattendu, commente le mathématicien Jean-Paul Delahaye. Je pensais plutôt qu’une telle tuile n’existait pas ! »
Une quête toujours en cours
La recherche d’un motif permettant de paver le plan en utilisant uniquement des translations et des rotations (sans le retourner) reste à mener. Les travaux de Craig Kaplan et ses collègues ouvrent la voie à de nouvelles recherches et applications dans ce domaine fascinant des pavages apériodiques.
